はじめての振動解析（3）減衰の基礎

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減衰は構造物に何らかの振動（動き）がないと働きませんので、減衰による抵抗力は速度に比例すると考えるのが簡単です。そこで減衰を速度に比例する粘性減衰として表現します。粘性減衰力を（式1）で表し、比例定数を（粘性）減衰係数と呼びます（図1）。

減衰という物理量は、質量や剛性と違い非常にイメージしにくいです。そこで振動するかしないかの臨界減衰係数と減衰係数の比である臨界減衰比を算出して評価するのが一般的です。簡単な1 自由度粘性減衰系振動モデル（図2）で臨界減衰比を算出してみます。

運動方程式は次式となります。

第1回のモーダル解析で行ったのと同じように、変位をと仮定し代入します。

この式の解としては単に振動しないことを意味するため除外すると次式となります。

の部分に着目すると、がより小さいか大きいかにより実数または虚数に分かれることがわかります。ここで、固有振動数と定義すると次式になります。

• のとき
  は複素数となります。ここでと定義するととなり変位は（式6）で表現できます。は振動状態を表し、は時間が進むにつれ減衰する状態を表しますので減衰しつつ振動する結果となります。グラフで表すと（図3-b）です。

• のとき
  
  は実数となります。となり変位は（式7）で表現できます。今度は虚数成分がありませんので、時間が進むにつれ減衰する結果となります。グラフで表すと（図3-c）です。

つまりが1より小さいか大きいかにより、振動するかしないかが分かれることになります。この境界となる減衰係数を臨界減衰係数と呼び、臨界減衰係数との比であるを臨界減衰比と呼びます（式8, 9）。

 

臨界減衰比による振動の違いをまとめると（図3）のようになります。

対数減衰率は減衰自由振動の振幅比（ ）の自然対数をとったもので、臨界減衰比と以下の関係式が成り立ちます（図4）。

系に減衰が存在すると振動時にエネルギーが消費されます。持っていたエネルギーと1周期間に消費されるエネルギーの比は以下の関係式が成り立ちます。

すべてのメカニズムが解明されているわけではありませんが、減衰は以下の3つのタイプに分けることができます。

• 粘性減衰
  空気抵抗や構造内部の摩擦抵抗などによって生じる減衰力で速度に比例します。
  Ansysではレイリー減衰などで表現します。
• 構造減衰（履歴減衰、複素減衰とも呼ばれる）
  構造内部に発生する減衰力でひずみ速度にほとんど依存しません。材料固有の減衰特性を持ちます。
  Ansysでは一定構造減衰などで表現します。
• クーロン減衰
  固体接触面に生じる摩擦による減衰力です（本稿では紙面の都合上取り扱いません）。

構造減衰は履歴減衰、複素減衰とも呼ばれ、速度に関係なく減衰比が一定です。減衰として取扱いやすいのが特徴で、周波数応答解析でよく利用されます。計算上は周波数依存性を持つ等価粘性減衰で表現されます。

等価粘性減衰係数は、粘性減衰力が1 周期でなす仕事量が消費エネルギーに変換され描くループ面積と同等であることを利用して求められます（図10）（式12）。

また、最大変位に達したときに蓄えられるひずみエネルギーは次式で求められます。

これらの式より粘性減衰力が1周期でなす仕事量と等価な減衰を求めると（式15）となります。このが等価粘性減衰係数です。

モード重ね合わせ法では、減衰マトリクス［C］を作成する代わりに、モードごとの臨界減衰比であるモード減衰比を設定します（図14）。モード減衰比は速度に依存しない減衰で、構造減衰とよく似ています。

• とりあえず何らかの減衰が入ればよい場合
  一定構造減衰（モード重ね合わせ法では一定のモード減衰比）を設定するのが簡単です。減衰はゼロにしないことを推奨します。ほぼ減衰が無いと想定される場合は、小さな値（0.001 など）を設定してください。
• 各部品や材料の減衰を個別に設定したい場合
  フル法の場合：材料ごとに臨界減衰比を設定するのが簡単です。（図13）を参照してください。
  モード重ね合わせ法の場合：（図15）の［モーダルからのEQV減衰比］をYesに設定してください。
• 実験モーダル結果からモードごとの減衰が見積もれる場合
  MDAMPコマンドを利用して、モードごとに減衰を設定することができます。詳細はAnsysのコマンドリファレンスをご覧ください。
• 材料の周波数ごとの減衰データをお持ちの場合
  これは主に粘弾性材料が該当すると思われます。粘弾性材料では周波数ごとの減衰比を定義するのが簡単です。詳細は弊社サポートへお問合せください。

• フル法周波数応答解析の場合
  構造減衰がよく利用されますが、粘性減衰も使用できます。両者をともに使用すると効果が累積されます。
  粘弾性材料はフル法周波数応答解析のみ対応します。
• モード重ね合わせ法周波数応答解析の場合
  モード減衰がよく利用されますが、レイリー減衰も使用できます。両者をともに使用すると効果が累積されます。
  要素減衰は使用できません（QR減衰法に変えることで対応可）。