粘弾性モデルの基礎（後編）

ここまでに示した線形粘弾性モデルは、いずれも1次元的な応力・ひずみ応答に限定して解説してきました。モデルの性質を理解する上で1次元モデルは非常に有効ですが、現実的な変形解析のほとんどは2次元もしくは3次元問題となるため、実用的な材料モデルとしては1次元モデルを3次元モデルへと拡張することが必要になります。そこで本節では、線形粘弾性モデルの3次元モデルへの拡張について考えてみましょう。なお本稿では最も簡単な拡張として、等方粘弾性モデルに限って説明します。また、以下ではMaxwellモデルおよびVoigtモデルについて示しますが、一般化Maxwellモデルや一般化Voigtモデルでも考え方は全く同じです。
線形粘弾性モデルを3次元へ拡張する場合、一般に応力とひずみを体積成分と偏差成分に分離し、それぞれに対して1次元の場合と同様のモデルを仮定します。これは、弾塑性モデルを1次元から3次元へと拡張するときと同じ考え方です。応力の体積成分と偏差成分は、それぞれ次式で定義されます。

応力の体積成分は、静水圧もしくは平均応力と呼ばれます。また偏差成分を偏差応力と呼び、x , y , z 方向の各垂直応力からそれぞれ平均応力を引いたものとなります。なお偏差応力のせん断成分については、もとの応力のせん断成分と同じとなります（すなわち = ( i , j = x , y , z ) ）。同様にして、ひずみの体積成分と偏差成分も定義できます。

ひずみの体積成分は平均ひずみであり、体積ひずみの1/3となります。また応力と同様に、偏差ひずみのせん断成分はもとのひずみのせん断成分と等しくなります（=( i , j = x , y , z ）。以上を用いて、MaxwellモデルとVoigtモデルを3次元モデルに拡張してみましょう。

G , K はせん断弾性係数と体積弾性係数であり、,はせん断粘性係数、体積粘性係数と呼ばれます。材料定数が体積変形とせん断変形のそれぞれに必要となるため、材料定数の数は2倍になります。なお、体積変形には粘性の効果はほとんど現れないと考え、体積変形に対する変形を表す式(30)の右辺括弧内の第2項を無視する（すなわち体積粘性係数が十分に大きく、弾性応答が得られると考える）こともあります。この場合、材料定数の数は1次元モデルと同じになります。

ここでも材料定数が体積変形とせん断変形のそれぞれに必要となるため、材料定数の数は2倍になります。また、体積変形には粘性の効果が無視できると考える場合には、式(34)の右辺括弧内の第2項を無視します（体積粘性係数を0とすることで、弾性応答に帰着させる）。この場合、材料定数の数は1次元モデルと同じになります。