陰解法(いんかいほう)

陰解法とは、各時間点の応答を求める時刻歴応答解析の一種で、未来の状態（時刻：ｔ＋⊿ｔ）についての運動方程式を解く手法です。

非線形解析ではニュートンラプソン法による反復計算が必要となるほか、非線形の剛性マトリクス [K] の逆行列が必要となるため、計算コストが高いという弱点があります。
また、非線形性の高い問題では解の収束は保証されません。

一方、短時間で大変形しないような問題であれば、大きな時間ステップを取ることができる利点があります。
そのため、陰解法は静的または準静的な問題で主に使用されます。

陰解法の時間積分法の一つであるニューマーク法（Newmark法）について説明します。
まず、時刻t _n +1 における運動方程式は以下のようになります。

Newmark法では速度と変位を次のように表します。

ここで、αとδはNewmarkの積分パラメータと呼ばれるものです。
（他の書籍ではδをγ、αをβと記載していることがあります）

式3を加速度に関する式に変形します。

式2、式4を式1に代入して整理します。

左辺に[K]が存在することから、{u _n+1 }を求めるには[K]の逆行列が必要であることがわかります。そのため計算コストが高くなります。
また、左辺だけでなく右辺にも未知数{F _n+1 ^a }が存在することから釣り合いの計算が必要となります。このような計算を陰的であるといいます。

陰解法の時間積分法にはNewmark以外にもHHT法などの手法があります。
HHT法は高次周波数におけるノイズを減衰させることで、Newmark法よりも安定して精度の高い結果を得られるとされています。

Newmark法やHHT法のように運動方程式を直接数値積分するのではなく、モード情報を計算しておいて重ね合わせて計算する「モード重ねあわせ法」という手法があります。
モード重ねあわせ法は線形計算にしか利用できませんが、Newmark法等に比べると非常に計算コストが低くなります。

Ansysにおける取扱い

• Ansys Mechanicalは陰解法を使用しています。
• 陰解法と陽解法の連成も可能です。

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