粘弾性モデルの基礎（前編）

線形粘弾性モデルは、 図2に示すばねとダッシュポットを構成要素とし、 これらを結合したモデルとして表されます。 ばねとダッシュポットはそれぞれ線形弾性モデル、 線形粘性モデルとなりますが、 最終的な応力とひずみの関係は線形ではなく非線形材料応答となることに注意してください。
はじめに、 線形粘弾性モデルの構成要素であるばねとダッシュポットについて考えましょう。 ここでは、 応力とひずみをそれぞれσ 、 ε 、 それぞれの時間微分を、とします。 簡単のために1次元問題で考え、 微小変形を想定しています。 3次元モデルへの拡張については、 後編で解説します。
ばね（線形弾性モデル）は応力とひずみが比例するというモデルで、 いわゆる線形弾性変形を表現します。 すなわち、 応力とひずみの間につぎの関係を仮定します。

まず、Maxwellモデルに一定応力（図5（a））を入力として与えた場合を考えてみましょう。はじめは応力が0 であり、 ある時刻（図中では時刻t = 0）で瞬間的に一定応力σを入力します。 応力が一定なので、 時刻t = 0 を除いて常に応力速度は = 0 となります。 このとき得られるひずみの時刻歴を、 図6に示します。 時刻t = 0 で =/Eが瞬間的に生じています。これは弾性変形によるひずみとなり、この性質を瞬間弾性と呼びます。その後、時間とともに一定のひずみ速度でひずみが増加します。すなわち、一定応力に対して無制限にひずみが発生することがわかります。時刻t におけるひずみはつぎで与えられます。

瞬間弾性が/E 、ひずみ速度（ひずみ応答の傾き）が/η で与えられることから、弾性係数E が大きいほど瞬間弾性は小さくなり、また粘性係数η が大きいほどひずみ速度が小さくなることがわかります。もう1 つの例として、図5（b）に示す一定ひずみを入力としたときの応答を考えます。はじめはひずみが0 であり、 ある時刻（図中では時刻t = 0）で瞬間的に一定ひずみε を入力します。 すなわち、 時刻t = 0 を除いてひずみ速度が = 0となります。 このとき得られる応力の時刻歴が図7です。 時刻t = 0で弾性変形による応力 = が瞬間的に生じた後、応力が徐々に減少して0に漸近しており、一定ひずみ下での応力緩和が表現されています。時刻t における応力はつぎで与えられます。

ここで = η / E を緩和時間と呼びます。緩和時間は、図7に示すように時刻t = 0におけるひずみ応答の接線と時間軸との交点を表しており、緩和時間が短いほど応力が短時間で緩和することを意味しています。弾性係数が大きくなるほど、また粘性係数が小さくなるほど、緩和時間は短くなります。以上に示したように、Maxwellモデルに応力やひずみを入力すると、ばねによる弾性応答が瞬間的に発生し、その後ダッシュポットによる粘性応答が時間とともに進行します。

つぎに、Voigtモデルに図5（a）の一定応力を入力した場合を考えましょう。図8 にひずみの時刻歴を示します。時刻t = 0では0であったひずみが時間とともに増加していき、 = / Eに漸近していきます。 ここで = / Eは弾性モデルにおいて生じるひずみとなっています。弾性応答に漸近していくこの性質を遅延弾性と呼びます。このとき、時刻t におけるひずみはつぎで与えられます。

ここで= η / E を遅延時間と呼びます。遅延時間は、ひずみが  となるのに要する時間を表しており、遅延時間が大きいほど弾性応答への収束に時間を要することを表しています。Maxwellモデルの緩和時間と定義式は同じですが、物理的な意味は異なるので注意してください。弾性係数が大きくなるほど、また粘性係数が小さくなるほど、遅延時間は短くなります。
このように、Voigtモデルは入力に対して弾性応答が直ちには発生せず、時間の経過とともに弾性応答へ漸近するという材料挙動を表現します。