#23 がた (後編)

スライダーを動かし続けると、軌跡がまるで土星の輪のような形になります。これは、実際にアプリを使う中で「こういう図形になるのか」と分かってきた点です。中心から離れていくほど“がた”は大きくなりますが、そのときは形だけでなく、大きさも知りたくなるはずです。アプリの挙動は是非動画にてご確認ください。

大きさを求めるのは少し大変ですが、実は計算式があります。その式を使えば、図形にぴったり接する矩形を描いたり、円を描いたりすることができます。実務では、この「どれくらいの大きさになるのか」を知りたい場面が多いと思いますので、その計算式を提案しました。

もし式を使うのが面倒であれば、このアプリだけでも十分役立つと思います。また皆さんの中には、sin (サイン)・cos (コサイン) で計算したり、3D/2D CAD上で動かしながら“がた”の大きさを見積もったりしている方も多いでしょう。そういった方法と比べていただくと、ほぼ同じ結果になるはずです。実際、このアプリもCADでの動作確認と幾何学計算を重ねながら作っていますので、基本的には一致するようになっています。

2つのピン（あるいは穴）の間隔を変えると、“がた”は小さくなるのでは？と思ったことがありました。昔から何となくそう感じてはいたのですが、特に検証したわけではありません。ただ、「ピン間の距離を詰めると、何か良い効果があるのでは」と考えていたのです。

ここまでの内容を整理すると、次の通りです。

• 左右方向のがたは大きく減る（隙間が詰まるため）
• 上下方向のがたはあまり減らない（距離を変えても効きにくい）
• 最後まで詰めると、がたはゼロになる（ただし干渉の一歩手前）
• 実務では、詰め過ぎると組立干渉のリスクがある
• ピンを使ってがたを減らしたり、変形で調整する際には有効な場合がある

また、ピンを内側に寄せた場合も基本的には同じで、左右方向のがたはよく減る一方、上下方向はあまり減らないという結果になります。最終的に組み立てが難しくなるほどギリギリまで寄せると、上下方向のがたも減ってきますが、そこまでいくと今度は干渉リスクが高くなるため、実務では使いにくい印象です。

ただし、ピンを使ってがたをコントロールする、あるいはピンの変形を利用して微調整するような場面では、こうした特性を理解しておくことで、有効に活用できる可能性があります。

この「丸穴＋長穴」の位置決めは、現場でもよく使われる方法ですが、
「丸穴側を支点にして、首を振るようながたが出る」と説明されることがあります。
もし丸穴側が圧入されていて、がたがまったく無い状態であれば、その説明でも問題ありません。
しかし、実際の組み立てではすき間が生じることが多い です。

たとえば 0.02〜0.03mm 程度の隙間はどうしても生じます。その結果、

• 丸穴側でもわずかに平行移動が起きる
• 長穴側では回転方向の動きも起きる

といった複数の動きが同時に重なります。

つまり実際には、単純な首振り運動だけでは説明しきれないのです。
私自身も「実際どう動いているのか？」と長年悩んでいました。そこで、この“がた”の挙動をはっきりさせるため、数式や図形で整理して研究してきた、という背景があります。

二つ穴の外接円のときも場合分けが必要で式が複雑でしたが、穴と長円の穴の外接円はさらに大変でした。式としてはここに示したように一見そこまでひどくないように見えますが、問題は角度 θをどう決めるかです。θ は部品が並進する方向、つまり並進のがたの向きを表す角度であり、この方向で外接円が最大になる条件を求める必要があります。その条件を整理していくと、最終的に sin⁡θについての四次方程式にならざるを得ず、ここが計算上の難所になります。

穴と長円の穴の型を比べてみると、形はかなり似ていますが、結果としては長円の穴の型の方が、がたがほんの少しだけ大きくなります。
これは、ピンが動ける範囲にわずかな違いがあるためです。

二つ穴（丸穴どうし）の場合、ピンは丸穴の円周に沿って動くため、動ける範囲は常に丸い境界で制限されます。
一方で長円の穴の場合は、丸穴と違って一部が削られているので、ピンが動ける方向が少し増えます。
そのため、長円の穴の方がピンが動ける範囲がわずかに広くなり、その分だけがたも少し大きくなる、ということになります。

もう少し見方を変えて説明すると、「長円の穴なら動けるけれど、丸穴だと動けない場所がある」ということがポイントになります。
図のようにピンがある方向へ動こうとしたとき、長円の穴であれば、図に示した範囲まで動けます。
ところが、もしそれが長円の穴ではなく丸穴だった場合、図に薄く描かれている円周のところで干渉してしまい、それより先には進めません。

つまり、丸穴では届かない場所に、長円の穴なら届くようになるため、結果として穴と長円の穴の組み合わせの方が、二つ穴よりも動ける範囲が少し広がり、がたもわずかに大きくなるというわけです。
ただし、方向によってはこの違いがほとんど出ない場合もありますので、実務上は十分に使える位置決め方法だと考えられます。

ここからは、3つの例題で位置決めレイアウトによるがたの違いを詳しく解説します。

詳細な解説内容は動画がわかりやすいため、

最後に今まで扱ってきた二つ穴（丸穴どうし）ではなく、穴と長円の穴の型で比較します。一般に、基準となる丸穴と丸ピンがあり、もう一方は副基準として、丸ピンと長円の穴で位置決めする構成がよく使われます。

今回比較したいのは、図(a)のように基準軸と副基準軸を両端に配置した場合と、図(b)のように基準軸を中央に置き、副基準軸を右端に配置した場合で、左右端（特に先端側）でのがたが同じになるのかどうかです。