#14 母数および統計量

ここでは、例として「10±0.3」の板を1万個生産したとします。
作られた板を厚さごとに分類し、それが何個あるかをグラフ化しました。これをヒストグラムと呼びます。

この1万個の全体を「母集団」と呼びます。
今回は数が決まっているため 「有限母集団」とも呼びますが、一般的には無限の数の母集団を想定することが多いです。
これは1万個で生産が終わるかどうかわからないためです。

しかし、1万個の母集団すべてを測定して合否を判定するのは大変です。
そのため、実際には1万個の中から例えば100個を抜き出して測定する「抜き取り検査」や「無作為抽出」を行います。
こうするとヒストグラムは粗くなりますが、それでも100個のデータがあれば、ある程度の値を把握できます。

この限られたデータから得られる「統計量」と呼ばれる数値を用いて、母集団の特性を推測するのが統計の役割です。

次の表は主な母数及び統計量の式をまとめた表です。
左側には母数 (有限母集団で) が、右側には統計量が記載されています。ここでは、各項目について説明します。

平均はわかりやすい概念で、確率変数（この場合は板の厚さ）をすべて足して、総数で割ったものが平均となります。
これはサンプルされたデータにも同じように適用されます。

分散や標準偏差の式になると少し複雑になります。
そこで、このあとExcelを使ってこれらの概念を振り返ってみたいと思います。

ここでポイントとなるのは、分散と標準偏差は二乗と√(ルート)の関係であるということです。
分散のルートをとったものが標準偏差であり、標準偏差の二乗が分散となります。

そのほか、統計量のなかには「範囲」というものがあります。
統計学の中ではあまり出てきませんが、ものづくりの中ではよく使われているような気がします。
抜き出して測った物の最大と最小の範囲を使います。

Excel を使って、分散と標準偏差を計算してみましょう。
動画の中でご紹介している演習用のExcel ファイルを下記のボタンよりダウンロードいただけます。

平均、分散、標準偏差の計算式は動画の中でご紹介しています。
下記の動画をご覧になりながら、Excel を使って演習してみてください。

分散とはデータの散らばり具合を示す指標です。まず「偏差」を計算します。
これは各データと平均値のズレを求めたものです。
この偏差にはプラスとマイナスが混在するため、単純に合計するとゼロになります。そこで、偏差を二乗することで符号をとり、ばらつきを明確にします。

この偏差の二乗をすべて足し合わせ、データ数（N）で割ると「分散」になります。
分散は散らばり具合を数値化するために有用ですが、単位が元のデータの2乗の形になってしまいます。
例えば、長さがmmであれば、分散の単位はmm²になってしまいます。そこで、元の単位に戻すために「平方根」を取ると「標準偏差」になります。

Excelでは、分散を求める関数「VAR.P」と「VAR.S」、標準偏差を求める関数「STDEV.P」と「STDEV.S」があります。
「P」は母集団全体のデータを対象とした場合、「S」はサンプルから母集団を推定する場合に使います。
後者の場合、分母をNではなくN-1で割ることで、母集団の分散をより適切に推定します。

あまたある母集団の中から標本として取り出した場合は「n-1 (右側)」を、母集団全部を対象として問題ない場合は N (左側)を用います。
いづれにしても N の数値が大きくなってくると2つの式の差は小さくなります。

以上のように、統計では平均だけでなく、データの散らばり具合を示す「分散」や「標準偏差」も重要な指標となります。
これらを適切に理解し、活用することで、より精度の高い分析や品質管理が可能になります。

平均、分散、標準偏差の計算式は動画の中でご紹介しています。
より詳細な内容は、YouTube チャンネル「みんなの公差」で解説しています。ぜひご視聴ください。

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