＜ハイブリッド開催＞
FEM原理-I 基礎編

講座の内容

本講義では、有限要素法による構造解析の基礎を講義します。有限要素法が物理現象を支配する方程式の近似解法であるという立場にたって、その離散化の考え方と方法について具体的な例題を用いて解説します。特に、微分方程式の離散化と離散化後のプロセスを明確に区別することで、有限要素法の全体像が見えるよう工夫しました。

まず、ばね構造を例にとって構造系の構成要素を示し、部材ごとに作った行列形の方程式を全体系に組み立てて解くマトリックス構造解析手法を説明します。そして、ばねとトラス部材のアナロジーから、2次元トラスの構造解析手法の定式化を示し、具体的な例題を通して部材系から全体系の剛性方程式を組み立てて、境界条件処理を行った後に解く、という有限要素法の定式化に共通する一連の解析プロセスを説明します。

次に、有限要素法の近似を理解するためのプロローグとして、データ分析の基本ツールである最小二乗法を紹介し、未知のデータが表す法則を関数で近似するための考え方を説明します。この手法の考え方は、有限要素法が局所形の微分方程式（強形式）を直接的に近似して解くのではなく、弱形式（あるいは仮想仕事式）と呼ばれる大域形の方程式に変換して代数方程式を導出する方法であることを理解するための助けとなるはずです。

そして、1次元弾性体の静的つり合い問題を例にとって局所形の微分方程式（強形式）で表される支配方程式を導き、これを仮想仕事式（弱形式）に変換する方法、ならびに数学的な意味を解説します。そこから、古典的近似解法の一つであるGalerkin（ガラーキン）法を説明し、具体的な例題を通して微分方程式が代数方程式に変換される仕組みを説明します。さらに、この近似解法の枠組みで有限要素法を紹介し、形状関数を用いた要素単位の近似を導入することのメリットを説明した後、1次元問題の有限要素法の定式化を示します。

次に、2次元弾性体の静的つり合い問題について、応力やひずみ、平衡方程式、境界条件などの材料力学および弾性体力学における基本事項を解説し、強形式（局所形の微分方程式）と仮想仕事式（弱形式）で表した支配方程式を導きます。ここでは、有限要素法を理解するには解こうとしている問題の物理的と数学的側面の双方の理解が最重要である点を強調します。そして、線形三角形要素を例に、形状関数を用いた要素単位の近似を導入し、有限要素法における離散化のプロセスを詳説します。具体的には、変位の補間近似の考え方と方法について言及し、要素ごとの弱形式に代入して要素剛性行列と荷重ベクトルが作られ、さらに全体系の方程式に組み込まれるプロセスを簡単な解析対象を例にとって説明します。

そして、2次元弾性体の静的つり合い問題に対するアイソパラメトリック要素（双一次四辺形要素）を紹介し、自然座標から実座標へのパラメトリック変換を導入する必然性と数値積分を適用した剛性行列・荷重ベクトルの算出方法等を解説します。線形三角形要素の場合と同様に、FEMの離散化解析の具体的な手順に重点をおいて説明しますが、応用編での数学理論への橋渡しとして、定式化の中での積分点の位置付けを強調しながら要素の性能や近似特性についても触れておきます。

最後に、2次元弾性体の有限要素法について、その近似方法の特徴を反映した有限要素モデル生成や境界条件設定等に関する幾つかの留意点をまとめます。特に、有限要素方程式における剛性行列と境界条件の関係について数理的側面から解説した後、要素間での変位の連続性と節点力の連続性、等価節点力の考え方、節点値と要素値の違いについて述べることにします。そして、物理的直感と一致しない可視化例を示し、有限要素解の特性についての理解を深めます。

※本講座内で解こうとする問題を理解するために、応力やひずみの定義などの最低限の力学理論は復習しますが、受講するに当たって材料力学の知識を補っておきたい方は「材料力学講座」を先行受講することをお奨めします。また、支配方程式は微分方程式で表され、離散化に際しては終始、行列・ベクトルの表記で定式化や演算を行うため、解析学や線形代数の基礎を復習しておくとよいです。

事前学習として望ましい知識

材料力学、線形代数学、解析学