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FEM原理講座

講座の内容

本講義では、有限要素法による構造解析の基礎を講義する。有限要素法が物理現象を支配する方程式の近似解法であるという立場にたって、その離散化の考え方と方法について具体的な例題を用いて解説するとともに、離散化による近似誤差・近似解の特性などについてのエッセンスを説明する。特に、微分方程式の離散化と離散化後のプロセスを明確に区別することで、有限要素法の全体像が見えるよう工夫した。

具体的には、まず、ばね構造を例にとって構造系の構成要素を示し、部材ごとに作った行列形の方程式を全体系に組み立てて解くマトリックス構造解析手法を説明する。また、ばねとトラス部材のアナロジーから、2次元トラスの構造解析手法を紹介し、具体的な例題を通して部材系から全体系の方程式を組み立てて、境界条件処理を行った後に解く、という有限要素法にも共通する一連の解析プロセスを説明する。 加えて、はり・板などの構造要素についても同様の手続きで解析が可能であることをエネルギー原理の解説をかねて補足的な説明を行う。

次に、1次元弾性体の静的つり合い問題を例にとって、微分方程式で与えられた支配方程式を仮想仕事式（弱形式）に変換する方法、ならびに数学的な意味付けを解説する。そこから、古典的近似解法としてのGalerkin（ガラーキン）法を説明し、具体的な例題を通してその近似解法としての特徴を述べる。そして、この古典的近似解法の枠組みでの有限要素法を紹介し、形状関数を用いた要素単位の近似を導入することのメリットを例示した後、1次元問題の近似解法としての有限要素法の定式化を示す。 ここでは、MATLABのスクリプト言語を用いたFEMプログラムソースを紹介し、実際の数値計算の手続きについても補足的に解説する。

次に、弾性体の静的つり合い問題について、応力やひずみ、平衡方程式、境界条件などの材料力学および弾性体力学における基礎事項を解説し、強形式と仮想仕事式（弱形式）で表した支配方程式を導く。そして、線形三角形要素を例に、形状関数を用いた要素単位の近似を導入し、有限要素法における離散化のプロセスを詳しく解説する。具体的には、変位の補間近似の考え方と方法、そして要素ごとの弱形式に代入して要素剛性行列と荷重ベクトルが作られ、さらに全体系の方程式に組み込まれるプロセスを例示しながら説明する。特に、要素間での変位の連続性と節点力の連続性、等価節点力の考え方、境界条件の設定など、微分方程式を代数方程式に変換したことによる留意点を述べる。

また、弾性体の静的つり合い問題については、双一次四辺形要素およびアイソパラメトリック要素を紹介し、自然座標から実座標へのパラメトリック変換を導入する必然性と数値積分を適用した剛性行列・荷重ベクトルの算出方法等を解説する。ここでも、線形三角形要素とアイソパラメトリック要素を用いたFEMプログラムコードを参照しながら、FEMの離散化解析の具体的な手順を説明する。

最後に、有限要素法の数学理論を概念的に述べ、ベクトル幾何学とのアナロジーを用いて有限要素法による近似解の幾何学的解釈を解説する。特に、有限要素法の解が、どのような場合に、どの程度、どのように誤差を含みうるのかについて、例題を示しながら説明する。また、メッシュパターンや要素種類によって解が変わりうることなどを例示し、有限要素法の仕組み・仕掛けを説明する。 加えて、有限要素法の近似解を極端悪化させる原因として知られるせん断・体積ロッキングの現象についても、そのメカニズムと回避方法について講義する。

※FEM原理講座を受講するに際して、材料力学の知識を補いたい方は「材料力学講座」を受講をお奨めします。 （従来、FEM原理講座の中で材料力学に触れていましたが、講座を分離し充実した材料力学講座を設置しました。また、FEM原理講座も材料力学の内容が抜けた分、本来の目的である有限要素法の基礎を充実した講座となりました。）

事前学習として望ましい知識

微分・積分学、線形代数学