FEM原理講座有限要素法の基礎原理のポイントをおさえ、得られる解の意味と性質を理解する

CAEの中枢であるFEMについて、基礎理論、構造解析を学ぶ講座です。

講師	寺田賢二郎氏東北大学　大学院　工学研究科　土木工学専攻　准教授
期間	2日間
定員	15名
受講料	73,500円（税込）
講義方式	座学（シミュレータの操作はありません）
時間	10:00～17:00
日程	日程表
会場・施設	サイバネット本社オフィス18階（富士ソフトビル秋葉原）
対象	主に有限要素法（FEM）による構造解析の実務に携わっているが、ブラックボックス的に利用してきたFEMソフトウェアの“中身”について学びたいという方。

テキスト概要と主旨講座テキストサンプル

本講義では、有限要素法による構造解析の基礎を講義する。有限要素法が物理現象を支配する方程式の近似解法であるという立場にたって、その離散化の考え方と方法について具体的な例題を用いて解説するとともに、離散化による近似誤差・近似解の特性などについてのエッセンスを説明する。特に、微分方程式の離散化と離散化後のプロセスを明確に区別することで、有限要素法の全体像が見えるよう工夫した。

具体的には、まず、ばね構造を例にとって構造系の構成要素を示し、部材ごとに作った行列形の方程式を全体系に組み立てて解くマトリックス構造解析手法を説明する。また、ばねとトラス部材のアナロジーから、2次元トラスの構造解析手法を紹介し、具体的な例題を通して部材系から全体系の方程式を組み立てて、境界条件処理を行った後に解く、という有限要素法にも共通する一連の解析プロセスを説明する。加えて、はり・板などの構造要素についても同様の手続きで解析が可能であることをエネルギー原理の解説をかねて補足的な説明を行う。

次に、1次元弾性体の静的つり合い問題を例にとって、微分方程式で与えられた支配方程式を仮想仕事式（弱形式）に変換する方法、ならびに数学的な意味付けを解説する。そこから、古典的近似解法としてのGalerkin（ガラーキン）法を説明し、具体的な例題を通してその近似解法としての特徴を述べる。そして、この古典的近似解法の枠組みでの有限要素法を紹介し、形状関数を用いた要素単位の近似を導入することのメリットを例示した後、1次元問題の近似解法としての有限要素法の定式化を示す。ここでは、MATLABのスクリプト言語を用いたFEMプログラムソースを紹介し、実際の数値計算の手続きについても補足的に解説する。

次に、弾性体の静的つり合い問題について、応力やひずみ、平衡方程式、境界条件などの材料力学および弾性体力学における基礎事項を解説し、強形式と仮想仕事式（弱形式）で表した支配方程式を導く。そして、線形三角形要素を例に、形状関数を用いた要素単位の近似を導入し、有限要素法における離散化のプロセスを詳しく解説する。具体的には、変位の補間近似の考え方と方法、そして要素ごとの弱形式に代入して要素剛性行列と荷重ベクトルが作られ、さらに全体系の方程式に組み込まれるプロセスを例示しながら説明する。特に、要素間での変位の連続性と節点力の連続性、等価節点力の考え方、境界条件の設定など、微分方程式を代数方程式に変換したことによる留意点を述べる。

また、弾性体の静的つり合い問題については、双一次四辺形要素およびアイソパラメトリック要素を紹介し、自然座標から実座標へのパラメトリック変換を導入する必然性と数値積分を適用した剛性行列・荷重ベクトルの算出方法等を解説する。ここでも、線形三角形要素とアイソパラメトリック要素を用いたFEMプログラムコードを参照しながら、FEMの離散化解析の具体的な手順を説明する。

最後に、有限要素法の数学理論を概念的に述べ、ベクトル幾何学とのアナロジーを用いて有限要素法による近似解の幾何学的解釈を解説する。特に、有限要素法の解が、どのような場合に、どの程度、どのように誤差を含みうるのかについて、例題を示しながら説明する。また、メッシュパターンや要素種類によって解が変わりうることなどを例示し、有限要素法の仕組み・仕掛けを説明する。加えて、有限要素法の近似解を極端悪化させる原因として知られるせん断・体積ロッキングの現象についても、そのメカニズムと回避方法について講義する。

タイムテーブルとテキストの目次

受講後の感想

精密機器メーカ／解析／1年／10年II期
今までブラックボックスだったＦＥＭについて、その原理を深く理解できた。また、いままで深く考えずに使用していたメッシュの切り方を注意しないと思わぬ結果になることがよく理解できた。このような講座を受講してからＦＥＭの専門書を熟読するやり方が最も効率的だと感じました。また、今回ＣＡＥユニバーシティの材料力学講座を事前に受けていたので、本講座にも比較的スムーズに入っていくことができました。

総合電気メーカー／CAE推進／1.5年／10年II期
講義の内容はレベルが高く感じられましたが、ＦＥＭ原理の概要を理解することができました。また、テキストが、わかりやすくまとまっているため今後の学習に活用していきたいと思います。
自己学習ではなかなか学びきれないことが多いので、このような教育があることはとてもありがたいです。
今後ともよろしくお願いいたします。

自動車部品メーカー／実験／1年／10年I期
講義内容に不満はなく、難しかったがわかりやすくまとまっていてよかった。計算の細かいところまでのっているのもとても助かる。（中略）今後も自分がもっと勉強をしたくなったらCAEユニバーシティさん、よろしくお願いします。（社会人になると大学に戻るわけにいかないし、勉強したいけど専門的なことを教えてくれる場所がないので）。

自動車メーカー／研究開発／2年／10年I期
FEMの全体の仕組み、特性がわかりました。

コンサルティング／20年以上／10年I期
材料力学講座から受講してから、この講座を受けたので内容的に繋がることがあり、良かったと思います。

自動車メーカー／実験／8年／09年II期
解析業務は担当していませんが、FEMの理論を学ぶために今回参加しました。テキスト内容を丁寧に補足する授業の進め方でしたので話しについていけました。テキストが丁寧なので補足説明とメモが講座後に自身での振り返り学習をやりやすいと思いました。講座時間に対するボリュームが多いのですが自分では取り掛かりにくいFEM学習のきっかけとしてよい講座だと思います。

精密機械メーカー／設計／8年／09年II期
今まで知っているつもりになっていたことがまったくわかっていないことを思い知らされました。自分で勉強をしなおして再度受講させていただきたいと思います。また、他の講座も受けてみたいと思います。ありがとうございました。

電機メーカー／解析／6年／09年II期
まとめて学ぶ機会があまりなくバラバラだった知識を繋げることができました。まだ理解しきれていない部分もありますが、かえってもう一度見直します。２日間、ありがとうございました。

ソフトウェアメーカー／解析／5年／09年I期
FEMの原理について基礎的な内容が理解できました。
ありがとうございました。

自動車メーカー／設計／5年／09年I期
幅広い内容の講義でしたが、総合的にFEMを理解できてよかった。反対に時間が少なく、３日間あるとありがたかった（または事前学習があると良い）。

家電メーカー／開発／約5年／08年III期
数学は難しかったがソフトの中身を十分理解することができた。欲を言うと手を動かすことなくずっと聞いているだけになりがちなので、手を動かせる例題などあれば良かったなと思う。全体的には満足した。

サービス業／技術／約4年／08年III期
全体として、満足している。講義のストーリーが、明快であり、頭に入りやすかった。FEMをほとんど知らない人でも、FEMの原理を知ることができると思う。数学や材料力学のバックグラウンドは有る程度必要。個人的には、材料力学に関しては10年以上前に授業でならった程度であったが、何とか理解することができた。

電機メーカー／開発・教育／約3年／08年II期
目的がほぼ達成できたので満足しています。

重工メーカー／解析・開発／約3年／08年夏期
ブラックボックスであったCAEソフトの計算の中身についてしっかり勉強したいと思い、本講座の受講を希望したのですが、そのすべてを網羅する内容だったので、大変満足しています。2日間でこれだけ学べたというのはかなり有意義でした。何度も同じ概念が登場する構成だったので復習にもなり理解が深まりました。

自動車メーカー／解析・研究／約2年／08年夏期
FEMを基礎から講義する場としては良かったと思います。特に古典的解法などで市販の参考書に記述されていないような細かな部分を分かり易く説明されていたのが良かったです。この様な場や講義が増えていき、種々のバリエーション、特化した講座etcが開催されていくことを希望しています。

精密機器メーカー／研究・開発／約2年／08年春期
FEMの流れを理解でき、有益であった。分野ごとの講座があれば受講したい。