解析講座はじめてみよう!流体解析(実践編)
〜誤差との上手なつき合い方(4)モデル化による誤差について〜

目次

はじめに

誤差との上手なつきあい方も第4回です。第2回ではモデル形状の違いによる誤差の中から、特に形状簡略化による誤差、第3回ではメッシュによる誤差の中からレイヤーメッシュの有無による誤差にスポットをあてて解説しました。
今回はモデル化による誤差について考えていきたいと思います。なおここで言うモデル化とは実現象を解析に落とし込むための作業を指す広義のモデル化ではなく、流体解析ツールで解析を行う際の条件設定における乱流モデルや物性値、圧縮性(非圧縮性)、境界条件などの選択を指します。

モデル形状による誤差とは

モデル化による誤差の原因には、例えば以下が挙げられます。
A:乱流モデルの選択による誤差
B:圧縮性(非圧縮性)による誤差
C:ブシネスク近似による誤差
D:境界条件による誤差
E:初期条件による誤差

A:乱流モデルの選択による誤差

実際の流れ場では、大小さまざまな渦がランダムに発生します。この状態を乱流といいます。乱流の渦は時間的にも空間的にも複雑で不規則な動きをします。この乱流を解析する手法として大きく分けて以下の3つがあります。

  1. 直接数値シミュレーション(Direct Numerical Simulation:DNS)
  2. 格子平均モデル(Large Eddy Simulation:LES)
  3. レイノルズ平均モデル(Reynolds-Averaged Navier-Stokes:RANS/Reynolds Stress Model:RSM)

1.のDNSは乱流モデルを使わず、ナビエストークス方程式を直接数値的に解く手法です。メッシュを細かくすれば小さな渦まで表現できますが、解析コストが非常に高く、工業的な利用には向いていません。

そのため現実的な解析コストで、設計で必要とされる流路全体の大まかな流れや熱の伝わりを求めることができるよう、乱流をなんらかの形でモデル化、つまり平均化を行う必要がでてきます。ただし、乱流をモデル化した時点で、どのようなモデルでも誤差を含むことは避けられないことを覚えておきましょう。

乱流のモデル化には大きく分けて、2.の格子平均モデル(LES)と3.のレイノルズ平均モデル(RANS/RSM)の2つがあります。2.のLESは空間的に平均化された方程式を解く手法で、大きな渦は直接計算され、メッシュより小さな渦は乱流モデルで表現します。1.のDNSよりは解析コストが低くなりますが、三次元非定常解析が前提条件となるため、実用的には大規模な解析環境が必要となります。

3.のRANS/RSMはアンサンブル平均された方程式を解く手法で、乱流の影響はすべて乱流モデルで表現します。二次元・定常解析も可能なため、産業分野で一般的に活用されています。

乱流モデルは流れ場に応じて様々なものが提案されていますが、すべての流れ場に適するモデルは未だに開発されておらず、モデル化の手法によって再現できる流れが異なります。
例えばRANSでは空間的・時間的に平均化を行います。計算コストの削減などメリットがありますが、流れの時間的な変化(非定常性)が平均化されてしまうため、非定常解析を行う場合には注意が必要です。流れの非定常性を確認したい場合は、時間的平均化を行わないLESなどを使う必要があります。
剥離流れや旋回流にはLESやRSM(レイノルズ応力モデル。異方性のある流れの解析に適する)、壁面の熱伝達係数を確認したい場合はRNASの中でも低Re k-εが適しています。

このように解析する流れ場に適した乱流モデル(=実際の流れ場の様子を再現できる乱流モデル)を選択することが必要です。
また精度の良い乱流モデルほどメッシュを細かくしたり、非定常計算が必要になったりと解析コストの増加につながります。【再現したい流れ場】をきちんと把握し、【解析コストとのバランス】をみながら乱流モデルを決定することが重要です。

乱流モデルについては以下セミナーで詳しくご紹介しておりますので、こちらもご参考にして下さい。

はじめての乱流モデリングセミナー

B:流体の圧縮性(非圧縮性)による誤差

現実の流体は圧力や温度によって流体密度が変化する圧縮性を持っています。しかし流体解析では解析コストを減らすために、流体密度が圧力などによって変化しないとみなせる場合、流体を密度が一定の非圧縮性流体として扱うことが可能です。
流体を液体と気体に分けて圧縮性流体として扱う必要がある場合、ない場合について考えてみましょう。

  1. 流体が液体の場合
  2. 流体が気体の場合

1.流体が液体の場合、圧力や温度による流体密度の変化は無視できると考えられるため、基本的には非圧縮性流体として扱えます。
ただし図1のシリンダー内のピストンを押し下げる解析のように、密閉空間で圧力を加えていくような解析では圧縮性を考える必要があります。この例では、流体を圧縮性流体と考えた場合、流体の体積は圧力によって変化し、流体密度が高くなります。この時、加えた圧力は音速の速さで流体中を伝わります。しかし流体を非圧縮性流体と考えた場合、流体密度は圧力によって変化しないため、解析することができません。



図1 圧縮性の考慮が必要な解析_ピストンの解析

2.流体が気体の場合、流速が遅ければ非圧縮性流体として扱えますが、マッハ数が0.3以上(密度の相対変化が5%以上に相当)になると圧縮性の影響が無視できなくなります。マッハ数は流速を音速で割ったもので、例えば20℃の空気中では音速は約340[m/s]ですので、流速が約100[m/s]以上になるとマッハ数が0.3以上となり、圧縮性の影響が出てくると考えられます。

また圧縮性を考えなければいけない場合として、水撃作用(ウォーターハンマー)や衝撃波、チョーク流れの解析が挙げられます。

これらの現象には流体の圧縮性が大きく関わっているため、圧縮性を考慮した解析が必要となります。

このように解析する流れ場で流体の圧縮性が重要かを検討し、【流れ場が再現できるか】と【解析コストとのバランス】をみながら、圧縮性流体を使用するか非圧縮性流体を使用するかを決定することが重要です。

C:ブシネスク近似による誤差

流体の流れは、駆動方法によって自然対流と強制対流の2つに分けられます。自然対流は流体の密度差によって生じる浮力によって発生する流れで、強制対流はファンやポンプなど外部からの力によって発生する流れです。

自然対流の解析を行う場合、圧縮性流体では温度差による密度変化を考慮するので浮力を厳密に解析することが可能ですが、非圧縮性流体では温度差による密度変化を考慮することができません。そのため非圧縮性流体を用いた自然対流の解析では、浮力を温度差に比例する力で近似する”ブシネスク近似”を用います。
ブシネスク近似では、温度変化によって発生する密度差に比べて圧力変化によって発生する密度差は小さいため無視することができる、また密度差は重力に比例した浮力としてのみ流体の運動に影響を及ぼす、と考えて外力項における浮力を体積膨張率と温度変化で表現します(式1、式2 参照)。

式1
式2

ブシネスク近似を用いることで、流体密度を温度の関数として解析を行うよりも収束が早くなる場合が多いですが、温度差には注意が必要です。圧縮性流体を用いて浮力を厳密に求める場合には温度差に制限はありません。しかしブシネスク近似を用いる場合は、温度差が大きい場合には近似による誤差が大きくなりますので、例えば流体として水を用いる場合は温度差が2[K]、空気の場合は15[K]以内が望ましいとされています。

>>次ページ:D:境界条件による誤差

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