逆解析による実験と解析の合わせ込み 〜4点曲げ試験による検証事例〜

目次

はじめに

この記事をお読みいただいている皆様の多くは、ANSYSをはじめとするCAEツールを実際にご利用されている方だと思いますが、解析結果が実験と定量的または定性的に合わないという経験を何度もされているのではないでしょうか?
CAEツールは入力データと設定した理論に則って結果を出しているだけの電卓のようなものですから、ソフトの不具合や実験の失敗といった解析以外の原因を除くと、実験と合わない原因のほとんどは以下のいずれかによるものになります。

  • 原因(1):単なる操作ミス
  • 原因(2):設定した理論では現象が表現できない
  • 原因(3):入力条件が現象を再現していない

解析専任者がよく使用するツールは物理現象の再現性を高めるために設定項目が多く、原因(1)の操作ミスが発生しやすくなりますが、これはそのツールを用いた解析経験や、入力後のチェックを慎重に行うことである程度防ぐことができます。
次に原因(2)は、例えば「大変形理論での計算が必要な問題に微小変形理論を用いている」「必要な精度が得られる要素分割を行っていない」といったことが挙げられますが、これも原因としては比較的特定しやすく、多くの場合修正も容易です。
最後に原因(3)ですが、これは(1)(2)がクリアされた状態でも発生するものであり、正しいと考えて入力した解析条件が実は現象を再現していないという状態を指します。
なぜこのような状態になるかというと、解析モデル作成者が意識せずに結果に影響を及ぼす要因をモデル化から省略してしまうことによるものが多いようです。


原因(3)を簡単な数式で表した概念図

これは、例えば片持ち梁の曲げをモデル化する際に、「固定している壁が鉄か粘土か」「固定方法は壁に埋め込んでいるのかL字アングルで固定しているのか」「材料物性は一般的なカタログスペックを使うべきなのか」といったことが無意識に省略されるといったことを表しています。
実験と解析のすり合わせを行う際にはこれら「合わない原因」を影響の強いものから徐々に排除していくことになりますが、その際にこれまで全て既知であった解析条件に、合わせ込みのための未知の条件が発生して通常の解析ができなくなることがあります。そのような場合には、実験等により得られた結果から逆解析という手法を用いて未知の解析条件を推定することが必要になります。
本稿では薄板の4点曲げ試験を例に挙げ、逆解析を用いて実験と解析のすりあわせを実際に行ったプロセスについてご紹介いたします。

逆解析とは

CAEツールを用いた計算の多くは「既知の解析条件によって未知の結果を計算する」というものであり、順解析と呼ばれています。それとは逆に「既知の結果から未知の解析条件を推定する」という流れを逆解析と呼びます。


順解析と逆解析の概念図

逆解析の手法としては、逆定式化法、出力誤差法、最小分散推定法といったものがありますが、本稿では最適化ソフトOptimusを用いた出力誤差法による逆解析を行います。
出力誤差法は、未知の解析条件を設計変数、実験値と解析結果の誤差を目的関数として、これを最小化する最適化問題を解く事により最適な解析条件を推定する方法であり、Optimusのような最適化ソフトの機能をそのまま利用できるため、他の手法と比較して容易に逆解析を行うことができるという利点を持ちます。

実験と解析の概要

本事例では、弊社で開催している「CAEユニバーシティ FEM実験室ver.1」で実際に測定されたデータを用いており、実験内容は次頁の図のように、両端をクランプ固定したSUSの薄板の2点に荷重をかけ、中央部の変位を観察するというものになります。
これを再現するための初期解析モデルは、端部を固定した対称性考慮の1/4シェルモデルで、幾何学的非線形性の設定を行っています。


実験モデルと解析モデルの図

変位-荷重の結果を比較してみると、変位量が小さいうちは実験と解析の結果はある程度一致していますが、荷重が増加して変位量が大きくなると明らかに両者の挙動が変わっていることがわかります。
また、これは結果のグラフには現れていませんが、以下のような挙動も示していました。

  • 実験後におもりをはずしても変位量がゼロに戻らない
  • 固定を全てはずすと平板に戻る

次項からはこれらの結果をふまえて逆解析による実験と解析のすり合わせを行います。

逆解析のプロセス

逆解析では最適化計算実行のために、実験と解析の差を発生させる原因となる未知の解析条件を含むモデルを構築する必要がありますが、それには初期解析モデルで表現できていない支配的な挙動を推測し、それを正確に解析モデルに組み込むことが重要です。
また、最適解を得た後も、その結果をそのまま信用するのではなく、得られた値が妥当なものなのかを設計変数空間の分析などにより確認しなければ、実現象を解析で再現するという当初の目的から外れ、ただの数字合わせになってしまうことに注意してください。
では逆解析のプロセスを進めてみましょう。

(a)未知条件の考察

変位量が小さな領域で解析と実験が微妙に異なる点ですが、これは材料や形状の微妙なバラツキなどにより発生しているものと仮定し、ヤング率をカタログスペックから微調整することにします。
変位量が大きな領域で両者の挙動が大きく異なる原因は、除荷時に変位量がゼロに戻らないことから何かしらの不可逆的な状態が発生していることがわかりますが、固定をはずすと元の平板に戻ることから薄板の塑性によるものではなさそうです。
そうすると、次に怪しいのはクランプ固定部に大きな力が加わり、すべりが発生している可能性です。
初期モデルの解析結果で固定点反力を確認すると、予想通り負荷した荷重値を大きく上回る長手方向の力が発生しており、クランプ固定部のすべりの可能性が高まりました。
クランプと薄板間の摩擦係数やクランプ力が既知であれば、より正確な判断とモデル化が可能になりますが、本実験ではそれらのデータが得られていないため、摩擦力を直接未知変数にします。
また、クランプ固定部にすべりを生じるという仮定により、シェル要素固定部の曲げ方向回転自由度の固定も初期モデルの設定では固すぎるため、若干の回転を許す設定に見直します。
板厚方向は、荷重と比べて小さな反力しか発生していないため、固定している台座の板厚方向変形の影響は無視できそうです。


荷重と固定点反力の比較

これらを考慮して、ヤング率とクランプモデルの定数を未知の解析条件パラメータとした解析モデルを作成することにします。

(b)考察内容のモデル化と未知解析条件の決定

クランプは摩擦力によって対象を固定していますので、同様の挙動を表現するために、結果への影響が大きな長手方向のシェルモデルの固定を行わず、代わりに摩擦を表現できるばね要素(COMBIN40 ※)を結合してばね剛性と最大摩擦力を未知の変数とするモデル化を行うことにします。また、曲げ方向の回転固定も解除し、回転ばね(COMBIN14※)による弱固定に変更します。
これらのモデル化により、合わせ込みのための未知解析条件は4つになりました。

※COMBIN40、COMBIN14は、ANSYSで使用する要素タイプ番号です。


合わせ込みモデルの概略図

(c)初期値と探索範囲の決定

最適化を効率的に行うためには未知変数の初期値と探索範囲を適切に設定する必要があります。適切な値を指定できない場合でも最適化の計算は可能ですが、現実的でない最適解が得られたり、最適解を見つけるまでの計算回数が大幅に増大する原因になります。
本事例では、ヤング率は変位の小さな領域の実験結果でおおよその値と範囲を決めることができ、クランプを表現する3つの未知変数についてはシェルモデルの反力結果、および実験と結果の変位の差から値を決めることができます。

(d)逆解析の実行

合わせ込みモデルの4つの未知の解析条件を設計変数、実験と解析の誤差を目的関数とし、これを最小化する最適化をOptimusで設定します。


Optimusの設定画面

最適化計算は多くの繰り返し計算を必要とするため、CAEソフトのライセンスを長時間確保したり、場合によっては技術者の監視工数も必要としますが、Optimusはこれらの計算を自動化し、計算を夜間や休日に実行することにより、人手をかけずにCAEツールのライセンスの空き時間を有効に活用することができます。

(e)結果の確認と分析

最適計算終了後の実験と解析結果の変位-荷重グラフを以下に示しますが、実験と解析の結果はほぼ一致しました。また、設計変数の範囲を事前に検討して指定したため、得られた値のオーダーも妥当なものとなっています。
Optimusのポスト処理で寄与度や応答曲面等を確認すると、それぞれの変数の交互作用、特にヤング率と摩擦力の影響が大きいことがわかります。今回はこれらの変数を一度に最適化したため、精度の高い最適解を得るための多くの計算回数(600回)を必要としましたが、収束状況を確認すると半分程度の計算で最終的な最適解に近い結果が得られていました。
材料物性と境界条件は、お互いに対する影響が非常に大きいため、本来は個別に最適化すべきものであり、例えば今回のモデルであれば、材料物性値の影響が大きく境界条件の影響が小さな領域(微小変形領域)で実験回数や測定点数を増やして有効なヤング率を求めた後、境界条件の未知変数を推定することが望まれます。今回それを一度に最適化した理由は、実験数が1回でかつ微小変形領域の測定点が少なかったことにより、材料物性値と境界条件を分離して最適化できなかったためです。
これらの結果を参考に、同様のケースでより精度と汎用性が高い解析モデルを構築するために実験の際に検討すべき内容は、以下のようなものが挙げられます。

  • 摩擦の正確なモデル化のために実験の際に摩擦係数とクランプ圧(力)を測定する
  • ヤング率を確定させるために微小変形領域での実験を行う
  • 水準数と実験回数を増やして他に必要な解析条件がないか確認する

ここまでの(a)〜(e)を繰り返すことで、実現象を忠実に再現する解析モデルを徐々に作り上げていくことになります。


合わせ込み結果とOptimusによる設計空間分析

最後に

今回の事例では1水準の条件で1回のみ実施した実験結果に対する合わせ込みを実施しているため、構築した合わせ込みモデルは4点曲げ試験を一般的に表すモデルにはなりませんが、少なくとも合わせ込みをおこなった実験に関しては解析で定量的な評価が可能になりました。
今後同様のクランプ固定モデルに異なる条件で実験を行い、モデルを改善していくことで、帰納的に正しいモデルが構築できるものと思われますが、これは仮説、検証、改善の繰り返しによって新しい原理を発見するプロセスとほとんど同じであり、完成した解析モデルはもはや実験を必要としないものかもしれません。
このように、逆解析によるバーチャルな原理モデル構築は、ただ単に解析条件を与えて計算を実行する順解析よりも、実現象や解析モデルに対する深い考察が必要であり、現象をイメージするための有効なプロセスになります。
その際、繰り返し計算による仮説の検証作業は最適化ソフトが行ってくれるため、技術者は仮説と改善の検討に集中できます。
「作業から思考へ」…限られた時間をより技術者らしく使うためにも、逆解析による実験と解析の合わせ込みをぜひ経験してみてください。

(CAEのあるものづくり2011年13号掲載)

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