はじめてみよう!流体解析(入門編)[U] 〜レイノルズ数と乱流〜

目次

はじめに

乱流は工学設計において性能を損なう要因になる一方、性能を向上させる要因にもなります。例えば、流線型物体 ※1に作用する抗力の増大、構造物の振動、乱流騒音など設計上好ましくない現象の発生要因となる一方で、熱交換器の冷却効率の向上や物質の混合を促進させる要因にもなります。このように乱流は様々な問題に関連し、適切な設計を行うためには乱流現象を理解し、それぞれの問題にどのような影響を及ぼしているのかを把握する必要があります。そのために、従来では実験が行なわれてきましたが、近年ではCFDによるアプローチも取られています。
そこで今回はCFDで乱流の解析を行う際に必要な知識として、乱流に関わる重要な無次元数であるレイノルズ数、さらに乱流の特徴と乱流モデルについて取り上げます。

レイノルズ数

レイノルズ数は、オズボーン・レイノルズ(Osborne Reynolds 1842〜1912)が導入した無次元数で、次式で定義されます。

ここでρは密度、μは粘性率、Uは代表流速、Lは代表長さ(代表寸法)です。代表流速と代表長さは流れを特徴づける値を選びます。例えば円管内の流れにおいては流入流速をU、円管の直径をLに取ることが一般的です。レイノルズ数はこのように、流体の物性( ρ,μ)と解析条件( U,L)が決まれば計算することができ、事前に流れのパターン(層流、乱流)の見当をつけるために使用されます。

レイノルズ数の導出

まずはレイノルズ数の導出を行います。前回導出した非圧縮性の連続の式と、x方向の運動方程式を直行座標系で以下に示します

(3)式の左辺第2項〜第4項は慣性項または移流項と呼ばれ、流速の2次に比例していることから非線形項とも呼ばれます。この非線形性のため流体の運動方程式の厳密解を求めることができるのはごく一部のケースに限られ、流れの研究は理論と実験の両方のアプローチが取られてきました。
実験では模型実験がよく行われます。実物を用意することができない場合や、用意するのにコストがかかる場合、実物を縮小した幾何学的に相似な形状の模型を用意します。形状が相似であることを流体力学では特に幾何学的相似性と呼び、以下のように表します。

ここで、 x, y,zは実物の各軸方向の寸法、 x’, y’, z’は模型の寸法、Lは両者の比で無次元の長さを表します。では、幾何学的相似性を満たせば実物と同じ流れが再現されるのでしょうか ―答えはノーです。例えば、対気速度 200 m/s(時速 720 km/h に相当)で飛行する航空機を考える場合、幾何学的に相似な模型に 200m/s の風を当てても実物と同じ流れは再現されません。模型を 200m/s で飛ばしても同様です。
それでは、どのような条件で模型実験を行えば良いのでしょうか。結論を先に言うと、レイノルズ数が同一である必要があり、これを力学的相似性と呼びます。幾何学的相似性に加えて力学的相似性が満たされれば同じ流れのパターンが再現されます。この条件を導くため、流速の相似性を考えます。幾何学的相似性と同様にして、

u, v, wは実物の各軸方向の流速、 u’, v’, w’は模型の流速、 Uは両者の比で無次元の流速を表します。(4)、(5)式より時間、圧力に関しても相似性を考えることができ、

基礎方程式(2), (3)式に(4)〜 (6)式を代入し、模型の流れを記述する方程式に変換すると

さらに式を整理すると以下の式が得られます。

ここで(10)式のReは(1)式で定義されているレイノルズ数です。得られた方程式を見ると、連続の式(9)は元の式(2)と同一の形をしています。運動方程式(10)はレイノルズ数だけがパラメータになっており、幾何学的相似性を満たす2つの流れにおいてレイノルズ数が同じであれば同じ方程式によって流れは記述され、同じ流れのパターンが得られることがわかります。

レイノルズ数の利点

レイノルズ数(以下、Re)を考えることにより、模型実験を行うとき、模型実験のReと実物のReを同一にすれば同じ流れのパターンが得られることがわかりました。これは、Reさえ同じ値にすれば、模型実験の流体(物性値)、代表流速、代表長さを自由に変更して良いことを意味し、実験方法の選択肢が広がります。
また、解析を行うにあたっては、幾何学的に相似な解析モデルにおいて、Reが同じ実験結果または解析結果が過去に得られていれば、新しい解析を行う前に流れのパターンをある程度予想することができます。特に収束性などのトラブルが発生しやすい解析では、過去の経験を生かすことで作業の効率化が期待できます。


図1 層流 Re = 1.54 [1]


図2 乱流 Re = 10,000 [1]

レイノルズ数と流れのパターン

2章の冒頭でReによって事前に流れのパターンの見当が付けられる、と述べましたが、代表的な流れのパターンは層流(Laminar Flow)と乱流(Turbulent Flow)に分類されます。
層流とは名前の通り層状の流れで、整然として規則的な流れが特徴です(図1)。このような流れのパターンはRe < 数千程度で、比較的値が小さい時に発生します。円管の場合は、Re < 2,300という実験値が得られており、この範囲内では外部から流れを意図的に乱しても、粘性の効果により乱れは次第に減衰し、やがて層流状態に戻ります(第1回参照)。このように流れが層流を保つReの上限値を臨界レイノルズ数と呼び、対象物の形状などによって様々な値を取ります。
一方、乱流は非常に複雑で不規則な流れが特徴です(図2)。流れのパターンは常に変化しており、同じ点から出発した流体でも異なる道筋を通ります。乱流はReが大きく、臨界レイノルズ数以上で発生しますが、産業分野の流れにおいてはその多くが100,000以上の値を取り、乱流となっていることが予想されます。

乱流の特徴

乱流の特徴について前章で簡単に述べましたが、他にもさまざまな特徴を持ちます。ここでは代表的な特徴を4つ挙げます:

(1) 不規則性
乱流中では流速、圧力、温度などの物理量が時間的にだけでなく、空間的にも不規則に変動する(図3)。

(2) 三次元性
視覚的には二次元的であっても奥行き方向にも必ず変化する。

(3) 活発な混合
層流と比較して運動量、熱量、濃度その他スカラー量の混合が活発で、急速に広がる。

(4) 渦構造
乱流は大小さまざまなスケール(大きさ)の渦運動の集合体である。


図3 乱流中の固定点における速度の時間変動の例 [2]

乱流の解析ではこれらの特徴を捉える必要がありますが、すべてを捉えることはハードウェア的に困難です。(1)のために非定常計算を行う必要があり、(2)のために対称モデルにすることはできず(フルモデルのみ)、(4)のために非常に細かいメッシュを必要とします。特に(4)については、Re9/4のメッシュが必要であることが理論から導かれており、Re = 10,000といった比較的小さいReの流れでも、(104)9/4 =109(=10億)ものメッシュが必要となります。そのため、ワークステーションやクラスター環境ではマシンリソースが足りず、スーパーコンピュータで行われているのが現状です。

乱流モデル

一方、ANSYS FluentANSYS CFXといった汎用のCFDツールでは日常的に乱流の解析が行われています。これらのツールではスーパーコンピュータが必要な計算を行っているわけではなく、乱流モデルを使用することでワークステーションレベルのマシンでも十分計算を行うことが可能となっています。なぜそのようなことが可能なのか、その理由について次に説明します。
もう一度(1)〜(4)の特徴を見てください。スーパーコンピュータが必要となるのは、これら乱流の特徴をすべて捉え、実現象に匹敵する高精度な結果が必要とされる場合に限られます。一方、乱流による影響を評価する際、乱流の詳細な時空間変動ではなく平均的な特性さえ把握できれば十分な場合の方が多く、乱流の特徴の内いくつかを損なっても実用レベルの解析ができ、目的の結果が得られれば良い、という考えから考案されたのが乱流モデルです。具体的には、平均的な特性を計算するために連続の式、運動方程式を平均化します。平均化の方法には時間と空間がありますが、その違いに応じて大きく2つに分類されています。これらに加えて、平均化を全く行わず直接乱流の計算を行う方法を合わせると、乱流の解析手法は図4のようになります。

レイノルズ平均モデル(Reynolds Averaged Navier-Stokes)

方程式を時間的に平均することで時間平均の乱流特性が得られます。乱流の活発な混合を考慮しており、乱流による平均の圧力損失、放熱特性などを得ることが可能です。計算負荷が最も小さく、実用的であることから現在最も広く使用されていますが、その代償として乱流の不規則性(特に非定常性)のほか、三次元性、渦構造といった特徴はモデルの仮定により考慮されません(一部のモデルでは三次元性を考慮)。RANSはモデル化の方法によりさらに細かく分類されており、小分類を図4に示します。

格子平均モデル(Large Eddy Simulation)

方程式を空間的に平均するモデルです。メッシュで解像できる大きいサイズの渦は直接計算し、メッシュで解像できない小さい渦はRANSにより計算することで、直接計算法よりも計算負荷を大きく低減しています。乱流の不規則性、三次元性、混合、(メッシュサイズよりも大きい)渦構造を捉えることができるため、RANSに比べると非常に高精度で、実験に近い結果が得られます。一方、計算負荷はRANSの100倍以上高くなります。RANSでは1時間で終わる計算が、LESでは4日以上かかる計算になり、1週間以上要することも少なくありません。そのため、高い精度を必要とするケースに使用は限られています。
このように使用する乱流モデルによって精度と計算時間がトレードオフの関係にあるため、乱流の解析を行う際は、必要な精度と計算にかけられる時間とを検討しておく必要があります※2。


図4 乱流の解析手法の分類

おわりに

乱流は広い産業分野に関わるありふれた現象でありながら、目的の結果を得るためには事前の検討が必要で、非常に難易度の高い解析です。今回取り上げた内容は乱流の解析の入り口の部分で、実際解析し、解析結果を評価するためには乱流現象や各乱流モデルに関する知識・経験が必要であることは言うまでもありません。
これまでは流れのみの場合を取り上げてきましたが、次回は熱流体解析の概要について取り上げる予定です。

 

※1 流線形物体:形状を滑らかにすることで流体から受ける抗力ができるだけ小さくなるように設計された物体のこと。飛行機などの翼断面形状で採用されていることが多い。反対語:鈍頭物体。
※2 計算時間を見積るには利用可能なマシンリソースについても把握しておく必要があります。

参考文献
[1]Van Dyke,“An Album of Fluid Motion”, The Parabolic Press
[2]D.J.トリトン著,河村哲也訳,“トリトン流体力学”,インデックス出版

CAEのあるものづくり2011年14号掲載
※[解析講座] 構造解析技術者のための流体解析入門として掲載



関連セミナー


お問い合わせ・検索はこちら

メール・電話でのお問い合わせ

お問い合わせページ

メール・電話でのお問い合わせ

閉じる

お探しの事例はありましたか?

メール・電話でのお問い合わせ

お問い合わせページ

ページトップへ