A君のレンズ設計物語第15回 レンズの形の所以

A君「博士・・・まず始めに、タイトルにある漢字が読めません」

博士「所以は"ゆえん"と読んで、理由とか根拠と同じ意味じゃ。今回は、レンズの形について考えてみようか」

A君「『レンズ設計のすべて』の著者の方も、中学生の頃に各社のダブルガウスレンズの断面図を見て“同じ仕様なのに何故色々な組み合わせがあるのだろう?”と疑問を持ったのが、レンズ設計の道に入ったきっかけだそうですね」

博士「レンズ系は様々なレンズで構成されているね。凸レンズ・凹レンズ・非球面レンズ、その組み合わせも無数にあるね。たとえば色収差を補正するためには凸レンズと凹レンズを組み合わせたり、いずれも収差を制御するために必要なのじゃ。優れた設計者は、レンズ系の断面図(≠光路図)を見ただけで特徴を把握できるというが、脳内光線追跡が可能だったり、定型パターンを理解していたりするのだろうかね」

A君「それですよ、知りたかったのは。遂に“レンズ設計の奥義”を伝授してくださるんですね!」

博士「そのような大仰なことではないが、知っておいて損は無い筈じゃよ。 前回レトロフォーカス型のレンズ系が出てきたが、その構成を大雑把にいうと、物体側に負、像側に正の成分が配置されている。

この負成分は、歪曲収差を補正するために凹レンズと凸レンズとを組み合わせて構成されることが多いが、夫々のレンズの“形”がどのように影響するかを見てみよう。

(a)はCODE Vに付属していたレンズデータを少しいじったもので、両凸+凹メニスカスとなっている。前回は、これを (b)のように凸メニスカス+凹メニスカスのように構成して、周辺光量比がほぼコサイン4乗に従う例を見てみたね。これは入射瞳の収差が小さくなったためとも言える。では、その様子を収差係数で比較してみようか」

A君「え?瞳に関する収差係数なんてあるんですか?」

博士「結像性能に関係するのは物体結像の収差係数であるため、瞳結像の収差係数が注目されることはあまり無いが、実は在るのじゃ。『レンズ設計法』を良く読むように」

A君「・・・読んでみました。でも、『レンズ設計法』での記述は“瞳にも収差係数があるよ”程度で、物体結像の収差係数のように収差係数と実収差との対応は説明されていないみたいです」

博士「瞳の収差が像面照度(や開口効率)にどういった影響を及ぼすかは、下記の文献で説明されているので参考にするように。

荒木敬介(2013)「像面照度解析と収差論」,『光設計研究グループ機関紙』No.52(2013)p.21-26, 光設計研究グループ
瞳の収差のうち、開口効率への影響が最も大きいのは瞳のコマ収差Usじゃ。この収差は軸外の瞳の大きさを変える作用がある、そこで、瞳のコマ収差を積極的に制御して開口効率をコントロールしてみよう、というのが今回の第1の目的じゃ」

A君「なるほど。マクロを作って瞳の収差係数を計算してみましたよ。2種類のレトロフォーカスでは、以下の表のようになっていました」

博士「瞳のコマ収差といっても入射瞳のコマ収差のことを指すので、全系の値ではなく、第1面から第8面までの和を考える。各面と和を棒グラフにしてみると、以下のようになっている。何が分かるかな?」


各面の瞳のコマ収差係数

A君「(a)の方は全ての面で負になっているのに対して、(b)の方は、S6〜S8での負正分が小さくなっていますし、S1とS2では正の成分を出しています。これは、両凸と凸メニスカスの違いですね!」

博士「これらの影響により、(b)ではその和が小さくなっているのに対して、(a)の方は絶対値が17倍ほど大きな負の値になっている。これが入射瞳の拡大を表現しているのじゃ。なお、物体の収差係数と違って、瞳の収差係数は小さければ(0に近ければ)良いというものではないことにも注意するように」

A君「入射瞳のコマ収差係数が負側に大きくなると、入射瞳が広がるということですかね?」

博士「その特性を確認するために、(a)からスタートして、瞳のコマ収差係数を変化させながら物体側のレンズ形状や入射瞳がどのように変化するかを光路図と軸外入射瞳径で見てみるのはどうかな?」

A君「それもマクロを作って検討してみました。自動設計オプションを使っていますが、第1レンズと第2レンズのパワーはなるべく変化しないようにして、瞳のコマ収差係数を-0.5から+0.5まで変化させてみた結果が以下です。

見事に、瞳のコマ収差係数と入射瞳径の関係が得られましたよ。瞳のコマ収差係数を制御することで軸外入射瞳径の増減が上手く実現出来ているような結果ですね」

博士「瞳収差を小さくする(開口効率を100%にする)には、たとえば自動設計の手法として、全画角のビネッティングファクタを0に設定しておいて“絞り面上の参照光線座標が同一に”というユーザー定義コンストレインツを使うことでもできる。実は、前回の非球面使用のときはそれを使って最適化してみたのじゃ。今回の最適化では瞳コマ収差係数を使ってみたが、わしも、ここまできれいな結果が得られるとは思っていなかったので、少々驚いているが」

A君「凸レンズと凹レンズの形状が、
瞳のコマ収差係数が負 :両凸    +凹メニスカス
瞳のコマ収差係数が0  :凸メニスカス+凹メニスカス
瞳のコマ収差係数が正 :凸メニスカス+両凹
というように変化しているのを見るのも興味深いですね」

博士「凸レンズや凹レンズの“形状”によって、夫々の特徴(収差)の現れ方が変わってくるのじゃ」

A君「なるほど。ところで、ビネッティング0のままの光路図でも絞り近傍の様子を見れば、果たして入射瞳が広がるのか狭まるのかが分かるんですね」

博士「うむ。瞳コマ係数が負の場合は、軸外光束が、(軸上光束で決まる)絞り径よりも内側を通っているね。つまり、絞りいっぱいに通そうとすると、必然的に入射光束(入射瞳)が拡がる、という寸法じゃ」

A君「その反対に、瞳コマ係数が正の場合は軸外光束が絞り径よりも外側を通っていますから、ビネッティングを設定すると軸外の入射瞳が小さくなるんですね。ところで、瞳コマ係数を+0.5にした場合の周辺光量比を計算してみたところ、入射瞳が小さくなって開口効率は60%程度と低くなっているにも関わらず、光量比はコサイン4乗で決まる値よりも高くなっていましたよ。偶然、負の歪曲収差が出ているので、その効果ですね」

博士「良い着眼点じゃ!確かに負の歪曲により周辺光量比が増加しているのじゃが、これは“偶然”ではない。前記の参考文献や『レンズ設計法』でも述べられているが、瞳結像のコマ収差係数と物体結像の歪曲収差係数の間には従属関係が存在する。前回、物体の結像と瞳の結像には関連があることをHLで学んだが、それと類似の関係のようじゃ。そのため、瞳のコマ収差と像の歪曲収差を同時に制御することは、球面レンズのみでバックフォーカスを確保しつつ行なうのはかなり困難じゃ」

A君「なるほど。そういえば、像面近傍のレンズは歪曲収差の制御に効果が高いということを、だいぶ前に学んだ気がします」

博士「そこで前回は、非球面を使って歪曲収差と瞳の収差の両方を所望の状態に持っていったのじゃ」

A君「非球面は物体結像の収差補正だけでなく瞳の収差制御にも有効なんですね。そういえば、“各面のTとVは、球面の場合は常に同符号になる”という原理がありましたけど、非球面を使えば異符号にすることもできるんですよね。非球面を使えば、かなり自由に3次収差を操作できるということですね」

博士「球面収差とコマ収差、コマ収差と非点収差、これらが密接に関係していることは、その計算式から分かり易いと思うが、瞳のコマ収差と像の歪曲収差のように一見関係のなさそうな収差にも関連性があることを知っておけば、自動設計で無理な条件設定をして悩むことも少なくできるのじゃないかな」

A君「CODE Vで周辺光量比の制御を最適化で行なう場合、TRA_1FLD(或いはUDFの@ill)が良く使われますけど、ビネッティングやアパチャの設定の影響を受けてしまいますよね。より根本的に入射瞳を制御したい場合には、瞳の収差係数が有効ですね、きっと」


博士「以前(第3回)の色消しレンズの回に、Hartingの式を解いて得られる二つの解を見たことがあったね」

A君「Fraunhofer型(以下、Fと呼ぶ)とGauss型(以下、G)ですよね」

博士「どちらも、軸上色収差・球面収差・コマ収差が補正されている解じゃが、収差の特徴には違いがある。第3回では、球面収差係数が0の状態で比較したが、左図はd線でフルコレクションにした状態で比較している。Fの方は球面収差の形が各波長で異なっているのに対して、Gの方は揃っているのが分かるね」

A君「Gの方は如何にも“設計しました”という感じで、なんとなく恰好良いですね」

博士「それぞれの収差係数を下表で見比べてみようか。軸上色収差Lとコマ収差Uはゼロを維持している。球面収差係数Tはフルコレクションになるように求めたものじゃが、何が分かるかな?」

A君「全系の3次球面収差係数は、Gの方が大きいですね。これはきっと、Gの方が全体的に面の曲率がきつくて高次収差が大きく出るので、フルコレクションにするためには3次収差も大きくする必要がある、ということですね」

博士「模範的な回答じゃ!他には?特に各面分担値はどうかな?」

A君「え?絶対値はそれほど違っていませんけど・・・あ!Fの方は、内側の2面に大きな正負があるのに対して、Gの方は、外側の2面で大きな正負が出ていますね。これは、どのように解釈したら?」

博士「その違いこそが収差の形が異なる原因じゃ。最初に屈折する第1面では材質の分散のため波長により屈折角は異なる。どちらのタイプでもこれは不可避じゃ。むしろGの方が大きいね。その後の二つの面(S2、S3)での挙動を考えてみると、Fの方は大きな正負でキャンセルしようとしていて、かつ補正しきれていない。そのため、第1面で“分光された”各波長の光線の(屈折角の)差異が大きくなり、波長により球面収差が異なった振る舞いを見せる。これに対してGは内側の面での収差発生は少ない。そのため、球面収差の波長依存性は少なく、色消しされていない波長が軸上色収差分だけ光軸方向にずれた形になると考えられる」

A君「なるほど。分かり易いです」

博士「別な表現をすると、ガウス対物の方は、後ろのレンズがアプラナティックな形状に近い、と言っても良い」

A君「アプラナティックレンズって、なんだかパワーの弱そうな頼りないレンズですね。役に立つんですか?」

博士「こういったメニスカスレンズが、顕微鏡レンズや露光光学系などのレンズ系に利用されているのを見たことがあるかな。アプラナティック条件は以下の式じゃが、多少ずれてもアプラナティックの特性(球面収差、コマ収差が小)は維持される。実は非常に重要な特性じゃ」

A君「へぇ〜。そうなんですか。では、アプラナティック条件に近いかどうかを判定して、条件に近い面の色を変えて表示するマクロを作ってみました。早速、いくつかのレンズに対して見てみました。

昔のレンズなど、結構、アプラナティックな面が使われているんですね」

博士「なんでも、1857年のアプラナティックレンズの発明により、レンズ設計理論が飛躍的に発展して様々なレンズが登場したらしい。上の図の中段にあるErnostarやSonnarはその代表格かもしれんな。勿論、全てのレンズでこの条件を満たすように構成することは出来ないが、上手く活用して欲しい特性じゃ。では、FとGの比較に戻るが、A君の大好きな自動設計を使ってみよう。Fをスタートデータとして、Gと同じように内側2面の収差発生を抑えるように最適化すると、どうなるかな?つまり、制約条件としては、以下じゃ」

全系の焦点距離=100
軸上色収差係数→0
球面収差係数→0
コマ収差係数→0
内側2面の球面収差係数→Gでの値

A君「各制約条件の重みを均等にしてみましたけど、ローカル最適化では良い解に収束しないですね」

博士「GとFの間には、色消しだけを考えると連続的に解が存在するが、球面収差やコマ収差に関しては途中で増加する”山”があるため、ローカル最適化では超えることができないのじゃ。色収差を重視して、コマ収差、球面収差の順に重みを軽くしてみると、その様子が分かる」

A君「ほほぅ。両者の間では、色収差Lはゼロが維持されていますけど、球面収差Tは一山、コマ収差Uは二山あるんですね」

博士「そのため、ローカル最適化でもTやUの重みを小さくするとFからGへ変化することがあるし、均等重みの場合でもGSを使えば到達できる(悔しいが)」

A君「全系の三次収差係数だけでなく各面分担値の違いも見てみることで、レンズの面形状の違いから生じる特徴など、色々と分かるんですね」


博士「最近は、普通のカメラよりもスマートフォンや携帯電話のカメラで写真を撮る人が多いようじゃが、どういったレンズが使われているか知ってるかな?」

A君「35mmカメラ用レンズを比例縮小しただけじゃないんですか?」

博士「第11回でも少し出てきたのじゃが、限られた空間に光学系を詰め込むために、たとえば以下のような構成をしていることが多い」

A君「うわっ!ものすごい非球面ですね。」

博士「こういった変曲点のある形状を、英語ではgull wingと呼ぶし、某社でもまさに“かもめ”と呼んでいたな」

A君「これはまさに非球面の自動設計技術の賜物ですよね。こんな形状は収差論では予想できないでしょ?」

博士「大きな声では言えないが、条件を絞ると、こういった形状を解析的に求めることも可能なのじゃ」

A君「えぇ?!薄肉系では解析式を使って曲率半径を求められるのは知っていますけど、こんな非球面の係数を計算で求められるんですか?」

博士「ん〜ちょっと違うのじゃが、たとえば特開平8-320444にその方法が説明されているので、それを見てみようか。因みにこの特許の出願はなんと30年以上前(1985年)じゃ!」

A君「え?!その時代の携帯電話にカメラが?!」

博士「いや、1985年といえば、そもそも一般的な携帯電話もない時代じゃよ。日本の携帯電話にカメラが付いたのは2000年頃らしい。この特許は、レーザービームプリンタ用の光学系に関するものじゃ。それまでは2,3枚のレンズが使われていたようじゃが、1枚に数を減らした場合の設計法について記述されている」

A君「特許を読んでみましたよ。要点としては、

光束を、非常に細いと仮定して主光線の位置方向結像距離のパラメータのみで表し、レンズ面上のある一点はそこを通る主光線のみについて、方向と結像距離を変化させるべく傾き曲率が定められるという連立方程式を立てて、それを解くことで前後の面の形状を求めている。

ということですね」

博士「うむ。収差補正の観点から言えば、球面収差とコマ収差を無視して像面湾曲と(fθ特性を基準とした)歪曲収差を高次の項まで含めて完全に補正するということじゃ。ただ、連立方程式は微分形式になっていて直接解くことができないため、数値解析により求める必要がある。特許では“1個の2次式と複数の1次式を連立させて容易に解ける”と書かれていたが、Mapleを使って解いてみたところ、項の数がべらぼうに多い式になった・・・実際に導出したレンズは所望の特性を有しているので、まぁ、間違ってはいないと思うが」

A君「そこからは僕の出番ですね。Mapleで求められた各パラメータの微分変数の式からCODEVのマクロを作って容易に計算できるようにしてみましたよ。でも、この方法で計算される面形状というのは、面を記述する関数の係数などではなく、面上の点の座標値ですよね」

博士「うむ。CODEVで扱うためにsagfitマクロで関数形式に変換を行なうような処理を追加してはどうかな?」

A君「出来ました!マクロでは、面を求めていく様子も見られるようにしました。

最後に、点データから非球面の係数を求めてレンズデータを作ります。

実施例と同じパラメータで計算してみたところ、曲率半径や非球面係数もほぼ一致しました」

■ご注意:与えるパラメータによっては、数学的には解があっても物理的な面形状は実現不可能な場合もあります。

博士「良くできました。この方法の特筆すべきことは、面形状を求めるために数値解析の計算を行なっているだけで、RSIコマンドなどの光線追跡の機能は使っていない。最適化オプションも使ってはいるが、点データから関数の係数をフィッティングするためだけに使っているということじゃ」

A君「こういったレンズ設計法もあるんですね。色々とパラメータを変えて“レンズ設計”をしてみました。特許の実施例とは違うパラメータですが、以下のような形状になりました」

博士「ウネウネした変曲点のあるレンズが出てきたね。これは、非常に暗いレンズ系なので、カメラレンズのように明るくするには、レンズ枚数も増やす必要があるが、現代の携帯電話用レンズのご先祖様かもしれんな。像高の端の領域では像面湾曲が出ているが、これは関数式へのフィッティングが十分ではないからと思われる」

A君「特許では、所謂ASP面が非球面の例として使われていましたけど、奇数次非球面(SPS ODD)を使ってみるとフィッティング精度がグンと上がりますね!こういった非球面の表現に効果があるみたいですね」

博士「ちなみに件の特許ではLBP用ということで所謂fθレンズについての式を解いているが、通常のカメラレンズの射影方式であるy=f*tanθの場合でも、連立方程式の一部分を修正することで同様に解くことができる。以下がその一例じゃ」

A君「通常の歪曲収差が補正されたようになっていますね。でも、やっぱり、面形状は変曲点があるんですね」

博士「この計算では、レンズ1枚(2面)で(M像面の)像面湾曲と歪曲(特定の射影関係に対する)を補正する面形状を求められる。カメラ用のレンズとして用いるには、他に、球面収差・コマ収差・非点収差、それに加えて色収差も補正する必要があるため、もっと多くのレンズが必要になるが、上に見たような特徴も考慮すると、三次収差係数では見ることのできない収差補正状況を理解する助けになるのかもしれないね」

A君「自動設計でも、評価関数の増減を気にするだけでなく、レンズの形を見るのが大事ということが良く分かりました」

CODE Vに興味を持たれた方は、トライアル版(無料)にて今回の事例や他の機能確認を行うことも出来ます。詳しくはこちらをご覧ください。

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