いまさらきけない光学計算第3回:面形状と導関数

この記事の内容

1-2: 導関数から法線ベクトルを求める〜前偏〜

早速、「(偏)導関数」と「接平面内の2本のベクトル」を求めましょう。まずは導関数から。

CODE Vでは、以下のように陰関数として面形状を表します。
S = F(X, Y) - Z
F(X, Y) - Z = 0
よって、

これで導関数が求まりました。数行で終わってしまいましたね。

次は接平面内の2本のベクトルを求めます。
上で求めた導関数は、偏微分による導関数ですから、以下のことが分かります。
交点を通過し、X-Z平面に平行な断面に含まれるベクトル
交点を通過し、Y-Z平面に平行な断面に含まれるベクトル

いきなり?
と思うかも知れませんが、次元を落として「平面」で考えてみると簡単に理解できます。2次元平面上の接線は、3次元における「接平面」に相当します。
次のイラストを通して、ベクトルと接平面を例に、このベクトルと導関数の関係を見てみましょう。


交点(赤点)を通過し、X-Y平面、Y-Z平面に平行な断面


交点における偏微分と接平面との関係

上図はX-Z断面の例です。光線交点における偏微分をその成分にもつベクトルは、接平面に含まれます。これは、Y-Z断面においても同様です。
いかがでしょうか?偏導関数と接平面内の2本のベクトル、もうつながったのではないでしょうか?

1-3: 導関数から法線ベクトルを求める〜後偏〜

続いて、外積、法線ベクトルを求めてみましょう。
まずは2本のベクトルの外積です。

この2本のベクトルは、接平面上に存在する、ということは(1-2)で述べた通りです。従って、この2本のベクトルの外積は、接平面に垂直なベクトルとなります。


これで外積が求まりました。このベクトル、 は交点における接平面に垂直ですから、これがそのまま法線ベクトルとなります。計算の都合上、絶対値を1としておくと便利なため、絶対値で割り以下のようにします。


以上で交点における法線ベクトルが求まりました。案外、簡単ですね。

<< 前へ | 次へ >>

目次

 


お問い合わせ