いまさらきけない光学計算第1回:光線と波面

この記事の内容

2: 波面から光線へ

続いて、波面から光線を導出してみます。ほんの少し式が出てきます。必要な知識は、「微分」と「ベクトル」だけで、内容は「ある関数とその垂線を求める」ことに他なりません。 ある関数が「波面」を表し、その垂線(法線)が「光線」に相当します。
特に難しいところはありませんので、気楽にお付き合いください。

2-1: 2次元で考える

手始めにX-Z平面の2次元で考えてみます。
このX-Z平面上のある関数をとします。です。このを球面や平面、その他任意の形状を持つ波面とします。関数上の任意の点における導関数をとすると、における接線は以下のように書けます。

さて、この接線の傾きは、X方向に1だけ変化した場合、Z方向にはだけ変化する、という意味ですから、ベクトルに置き換えると、となります。このベクトルが、座標における接線の傾きを表すベクトルです。


(X-Z平面上の関数と接線、及び接線の傾き)

次に、このベクトルに垂直なベクトルを考えると、がこれに相当します(内積が0であればなんでもよいので、符号や絶対値などは特に気にしません。)。このベクトルは、座標における法線ベクトルです。つまり、このベクトルを傾きとし、座標を通過する直線が、「光線」となります。


関数(波面)の接線の垂線(法線)が光線に相当します

2次元の場合はとても簡単です。では、一度ここまでを簡単にまとめてみましょう。
まず、ある関数(波面に相当)の接線を求めます。
この傾きをベクトルで表し、更に垂直なベクトルを求めることで、波面上の任意の点における法線ベクトルを求めました。これが「光線」です。

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