028_PlateBending.mw

平板のたわみの解析

イントロダクション

このワークシートでは、Maple を使用し古典的な平板のたわみの方程式を解析します。

> restart;

モデルの定義

平板のたわみモデルのプロシジャー

古典的な平板たわみ方程式を数式の形で使います。

[Inserted Image]

伝統的に、これらを解くには、膨大な量の代数計算が必要です。 しかし、上の古典的な式は、以下のプログラムプロシージャでも表現できます。

> b:=proc(i,j,K)
 int(
   int(
     (diff(w[i],x,x,x,x)+diff(w[i],y,y,y,y)+2*diff(w[i],x,x,y,y)+K*w[i])*w[j],
   x=0..a),
 y=0..d);
end proc:

右辺を別の二重積分プロシジャーとして表します。

> c:=proc(j,q)
 int(
   int(
     q/sd*w[j],
   x=0..a),
 y=0..d):
end proc:

解と可視化

境界条件の定義

境界条件をが代数的に表します。こうすると、後で変更することができます。

> f:=(x^4); w[1]:=f; w[2]:=f*y; w[3]:=f*y^2;

f := x^4

w[1] := x^4

w[2] := x^4*y

w[3] := x^4*y^2

> eqs := {v1*b(1,1,0)+v2*b(1,2,0)+v3*b(1,3,0)=c(1,q),
       v1*b(1,2,0)+v2*b(2,2,0)+v3*b(2,3,0)=c(2,q),
       v1*b(1,3,0)+v2*b(2,3,0)+v3*b(3,3,0)=c(3,q)};

eqs := {24/5*v1*a^5*d+12/5*v2*a^5*d^2+8/5*v3*a^5*d^3 = 1/5*q*a^5*d/sd, 12/5*v1*a^5*d^2+8/5*v2*a^5*d^3+6/5*v3*a^5*d^4 = 1/10*q*a^5*d^2/sd, 8/5*v1*a^5*d^3+6/5*v2*a^5*d^4+v3*(16/7*a^7*d^3+24/25*a^5*d^5) ...eqs := {24/5*v1*a^5*d+12/5*v2*a^5*d^2+8/5*v3*a^5*d^3 = 1/5*q*a^5*d/sd, 12/5*v1*a^5*d^2+8/5*v2*a^5*d^3+6/5*v3*a^5*d^4 = 1/10*q*a^5*d^2/sd, 8/5*v1*a^5*d^3+6/5*v2*a^5*d^4+v3*(16/7*a^7*d^3+24/25*a^5*d^5) ...

たわみパラメータを求めます。

前の式を簡単なコマンドシンタックスで解き、値を代入して評価を行います。

> sol:=solve(eqs,{v1,v2,v3}); assign(sol);

sol := {v2 = 0, v3 = 0, v1 = 1/24*q/sd}

> d:=7: a:=6: sd:=10: q:=-.1:

> wdef:=v1*w[1]+v2*w[2]+v3*w[3];

wdef := -0.4166666667e-3*x^4

精度をチェックするため、最終結果を表示します。FEMを使うと非常にコストがかかるでしょう。

> plot3d(wdef, x=0..a, y=0..a, axes=boxed, style=patchnogrid, orientation=[-46,57], shading=z, title = `COOLING FIN DEFLECTION`, tickmarks=[5,5,2]);

[Plot]