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CAEユニバーシティ 特別講座

CAEユニバーシティ特別講座
制御に関する運動と振動のモデル化 第1回
「連続体の振動のモデリング」

東京大学生産技術研究所 准教授 中野 公彦 先生

サイバネットは、エンジニアのための理論教育講座「CAEユニバーシティ」を主催しています。このコーナーではその「特別講座」として、講師の方などに専門分野をわかりやすくご紹介いただきます。

はじめに


図1

連続体とは、質量、ばね、減衰要素が明確に分離できる集中系と異なり、これらの要素が連続的に分布していると考えられた系を指します。従来は剛体(変形しない物体)と考えて問題のなかったものが、軽量化などに伴い、たわみやねじれが生じやすくなり、それらが系の挙動に与える影響を無視できなくなってきました。制御系モデリングにおいても、連続体を扱う必要があります。円柱のねじり振動を例に、連続体の力学を制御系設計と親和性の高い、線形な常微分方程式によって記述する手法の1つを紹介します。


ねじり振動の解析解

連続体の振動問題として代表的なねじり振動を例に、モデリングを行ってみます。図1に示すような、長さlである円柱(両端固定)に、ねじり振動が生じている系を考えます。

時間をt、円柱の左端を原点として軸方向の座標をx、ねじり角をとします。この時、支配方程式は以下のような、(古典的)波動方程式になります。

円柱の横弾性係数をG、極断面二次モーメントをJ、単位長さあたりの極慣性モーメントをI0とすると、aは以下のように定義されます。

波動方程式を解くために、変数分離形の解を仮定します。すなわち、ねじり角を以下のような時間関数q(t)と空間関数W(x)で表します。

さて、系が角振動数piで振動していると仮定すると、q(t)は以下のように書くことができます。なお、φは位相を表します。

これを波動方程式に代入すると、以下の関係式が得られます。

よって、W(x)の一般解は以下のようになります。なお、C1C2は積分定数です。

両端固定と考えると、以下の条件が成立します。

二番目の式が成立する条件は、以下の通りとなります。ただし、iは自然数となります。

これが固有角振動数であり、それは無数にあることがわかります。自然数iに対応する固有角振動数をi次モードの固有角振動数と呼びます。この固有角振動数に対応するW(x)Wi(x)とすると、Wi(x)は以下のようになります。これは、各地点xでの振動の振幅を表しており、i次のモード関数と呼ばれます。

ねじれ角は、これら、全てのモードの時間関数と空間関数の和で表されます。すなわち、以下のようになります。

ねじり振動のモデリング


図2

図2のように、地点x=lfでモーメントτ(t)が強制入力として系に加えられると考えます。このモーメントに対する地点x=lθでのねじれ角の応答を求めることを考えます。強制入力がある場合の円柱の振動方程式は以下のようになります。


ここで、δ(x)はデルタ関数で以下の性質があります。

さて、両端固定の場合、強制入力によってモード形状の変化がないと仮定し、積分定数Ciを含む形でi次モードの時間関数qi(t)を定義しなおすと、ねじり角は以下の形式で表すことができます。

これを式(11)に代入すると以下の式が導かれます。

さて、モデリングに際しては、無数のモード全てを考慮することには無理があります。1つのモード(i=n)のみを考えることにします。

この1つのモードを抽出するために、モードの直交性を利用します。あるモード(n次とする)関数に異なるモード(m次とする)の関数を乗じて、モード関数の全範囲であるx=0からlまで積分を行うと、以下の通り0となります。

一方、同じモード関数を乗じて積分を行った場合は、以下の通り0とはなりません。

式(15)の両辺にn次モードのモード関数を乗じ、x=0からlまで積分を行うと以下の式が得られます。

また、地点x=lθでのねじれ角は以下のようになります。

これより、ラプラス演算子をsとすると、強制入力から地点x=lθでのねじれ角までの伝達関数T(s)は式(20)のように求められます。強制入力があった箇所が節の場合、系への入力は全くなく、振動が発生しないことがわかります。また、観測位置(x=lθ)が節である場合は、系は振動していますが、それを観測できないことがわかります。この伝達関数は、状態方程式形式でも表現できます。

今回は、モード関数が正弦波になる時を例に説明しました。境界条件等によって形状は変わってきますが、モード関数には直交性がありますので、他の場合でも同様の手法が適用可能です。このように、連続体は1つもしくは限られた数のモードに着目すればモデリングは可能です。実際のシステムにおいても、限られたモードの動的挙動が支配的であることが多いため、今回の手法は有効と言えます。しかし、無視したモードの挙動が後になって制御系に影響を与えるケースもありますので、制御系設計を行う場合は、無視したモードが系に悪影響を与えないかどうか、十分に考えておく必要があります。

次回予告!

今回の手法を用いて行った大型車のアクティブサスペンションのモデリング例を紹介します。

制御に関する運動と振動のモデル化 第2回
「アクティブサスペンション制御系設計のためのモデリング」

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