分散と標準偏差の違いは?

分散も標準偏差も中心値(平均値)からのバラツキの大きさを示す値です。


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ではなぜ一般的にバラツキの大きさを示す際、分散ではなく標準偏差が用いられるのでしょうか。
まずバラツキ具合の評価ですが、例えば装置A、装置Bそれぞれで製造した部品の長さバラツキを下図に示します。


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この場合、どちらの装置を使っても長さの平均は「10mm」になります。
次に、それぞれの装置で製造される部品について、全体での長さバラツキ具合を数値化するため、

バラツキ=Σ(測定値−平均値)
を求めてみます。
しかしながら、この式ではプラス側のバラツキとマイナス側のバラツキが相殺してしまい、結局どちらの装置の結果も「0」となってしまいます。

そこで符号の影響を排除するために、

バラツキ=Σ(測定値−平均値)2
でバラツキを求めてみます。

この式で求めたバラツキは、装置Aが「0.38」、装置Bが「1.10」となり、装置Bの方がバラツキが大きいことが、数値として確認できます。

ただし、この算出方法では測定値の数が増えるほど値が大きくなるため、異なったサンプル数の結果同士を比較できません。

例えば装置Aのサンプルが30個だと

0.38+0.38+0.38=1.14(装置A) > 1.10(装置B)
となり、装置Aの方がバラツキが大きくなります。

そこで、

バラツキ=Σ(測定値−平均値)2 /データ数
とすることにより、異なったサンプル数の結果同士も比較することが可能となります。
この式で求めたバラツキを示す数値が、上記の式で表される「分散」です。

この様に、分散はその算出過程で符号の効果を排除するため2乗しています。
従って、分散は長さのバラツキであれば、長さの2乗(例:mm2 )の単位を持ちます。
しかしながら、通常長さのバラツキを評価する際には、同じ次元の長さで評価する方が感覚的に分かりやすいため、一般的にバラツキを表す場合は、分散の平方根である「標準偏差」が用いられます。

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